Как Маркс «доказал», что производной не существует

Карл Маркс известен всем как автор «Капитала» и отец коммунизма. Но мало кто знает, что помимо политэкономии он писал и по математике. Семью надо было кормить, а математика в 19 веке была модным жанром.

Среди его работ есть очень короткая заметка «Note on Mathematics», которая в своё время была почти библией для японских экономистов-марксистов. Главный тезис там выглядит фантастически: Маркс «доказывает», что само понятие производной внутренне противоречиво.

Схема вывода очень простая. Пусть dy/dx существует и равен произвольному числу a. Но dx = 0 и dy = 0, а значит 0/0 = a, то есть 0 = 0·a. Из этого Маркс делает вывод, что производная может равняться чему угодно, а значит это понятие просто не имеет смысла. Классический Q.E.D. в конце.

Ошибка здесь видна любому, кто прослушал первый семестр матана. dx и dy это не нули, а бесконечно малые приращения, и производная определяется как предел отношения этих приращений, а не само отношение «null на null». Никакого противоречия нет, есть просто неправильное понимание предела.

Самый интересный момент в этой истории не сама ошибка, а реакция экономистов того времени. Один из японских учёных позднее признавался: я не оспорил это доказательство, потому что верил, что логика экономики отличается от логики математики, а математика заражена буржуазной идеологией. Иначе говоря, люди предпочитали признать ошибочной математику, чем Маркса.

Для разработчиков и инженеров эта история полезна как напоминание. Авторитет автора не отменяет ошибок в выводах, а желание подогнать математику под удобный ответ приводит к тому, что люди всерьёз пишут 0/0 = a и ставят в конце Q.E.D.

Источник: https://x.com/Math_files/status/2059341547263721947