Почему π есть в интеграле Гаусса

Функция exp(-x^2) не имеет элементарной первообразной. Никакие подстановки, интегрирование по частям, тригонометрия не работают. Но площадь под ней от -∞ до +∞ равна корню из π. Именно эта кривая лежит в основе нормального распределения – фундамента статистики и машинного обучения.

История и контекст

Интеграл называется гауссовым – в честь Карла Фридриха Гаусса. Его также называют интегралом Эйлера-Пуассона. Проблема в том, что у e^(-x^2) нет элементарной первообразной совсем. Несмотря на это, вычислить интеграл было необходимо – он стоит за нормальным распределением, байесовским выводом, диффузионными моделями и функцией потерь в линейной регрессии.

Решение

Назовем искомый интеграл I. Возведем его в квадрат: I^2 = (∫e^(-x^2)dx)(∫e^(-y^2)dy) = ∫∫ e^(-(x^2+y^2)) dx dy. В показателе степени стоит x^2 + y^2 – формула окружности. Переходим в полярные координаты и интегрируем по цилиндрическим оболочкам: I^2 = ∫₀^∞ 2πr·e^(-r^2)dr. Замена u = r^2, du = 2r dr: I^2 = π·∫₀^∞ e^(-u)du = π·1 = π. Значит I = √π.

Почему появляется π

π возникает не потому, что в задаче есть окружности – их приходится создавать намеренно. Одномерная кривая не поддается прямой атаке, но стоит поднять ее в двумерное пространство – ротационная симметрия функции делает задачу тривиальной через полярные координаты.

Оригинальный разбор: https://x.com/Math_files/status/2060339633553277005