Вычисляем итеративный и рекурсивный факториал с помощью Python

Вступление

По определению, факториал – это произведение положительного целого числа и всех положительных целых чисел, которые меньше или равны данному числу. Другими словами, получение факториала числа означает умножение всех целых чисел от этого числа вплоть до 1.

По правилу 0! = 1

Факториал – это целое число, за которым следует восклицательный знак.

5! обозначает факториал из пяти.

Чтобы вычислить факториал, мы умножаем число на каждое целое число, меньшее его, пока не дойдём до 1:

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
5! = 120

Запомните эти простые правила, ведь в этом уроке мы узнаем, как вычислять факториал целого числа с помощью Python, используя циклы и рекурсию. Начнём с вычисления факториала с помощью циклов.

Вычисляем факториал с помощью циклов

Мы можем вычислять факториалы, используя как цикл while, так и цикл for. Общий процесс довольно похож в обоих случаях. Всё, что нам нужно, – это параметр в качестве входных данных и счетчик.

Давайте начнем с цикла for:

def get_factorial_for_loop(n):
    result = 1
    if n > 1:
        for i in range(1, n+1):
            result = result * i
        return result
    else:
        return 'n has to be positive'

Возможно, вы заметили, что мы считаем, начиная с 1 до n-числа, в то время как в определении мы описали факториал, как произведение положительного целого числа и всех положительных целых чисел до 1. Но по законам математики:

Проще говоря, (n – (n-1)) всегда равно 1.

Это значит, что не важно, в каком направлении мы считаем. Можем начать с 1 и увеличиваться в направлении n-числа, или он может начинаться с n-числа и уменьшаться в направлении 1. Теперь, когда мы всё объяснили, начнём разбирать функцию, о которой говорили.

Наша функция принимает параметр n, который обозначает число, для которого мы вычисляем факториал. Сначала мы определяем переменную с именем result и присваиваем ей значение 1.

Вы можете спросить, почему 1, а не 0?

Потому что если бы мы присвоили ему 0, то все последующие умножения на 0, естественно, привели бы к 0.

Затем мы начинаем наш цикл for в диапазоне от 1 до n+1. Помните, что диапазон Python остановится перед вторым аргументом. Чтобы включить и последнее число, мы просто добавляем еще 1.

Внутри цикла for мы умножаем текущее значение result на текущее значение вашего индекса i.

Наконец, мы возвращаем конечное значение result. Давайте протестируем нашу функцию и выведем результат:

inp = input("Enter a number: ")
inp = int(inp)

print(f"The result is: {get_factorial_for_loop(inp)}")

Программа предложит пользователю ввести данные. Мы попробуем с 4:

Enter a number: 4
The result is: 24

Можете проверить результат на калькуляторе:

4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.

Теперь давайте посмотрим, как мы можем вычислить факториал, используя цикл while. Вот наша модифицированная функция:

def get_factorial_while_loop(n):
    result = 1
    while n > 1:
        result = result * n
        n -= 1
    return result

Это очень похоже на цикл for. Только в этот раз, мы движемся от n к 1, что ближе к математическому определению. Протестируем нашу функцию:

inp = input("Enter a number: ")
inp = int(inp)

print(f"The result is: {get_factorial_while_loop(inp)}")

Опять введём 4:

Enter a number: 4
The result is: 24

Хотя считали наоборот, результат получился тот же.

Рассчитывать факториал с помощью цикла легко. Теперь посмотрим, как вычислить факториал с помощью рекурсивной функции.

Вычисляем факториал с помощью рекурсивной функции

Рекурсивная функция – это функция, которая вызывает саму себя. Определение кажется страшным, но потерпите, и вы поймёте, что это значит.

Обычно каждая рекурсивная функция состоит из двух основных компонентов: базового варианта и рекурсивного шага.

Базовые случаи – это самые маленькие примеры задачи. Также это перерыв, случай, который вернет значение и выйдет из рекурсии. С точки зрения факторных функций, базовый случай – это когда мы возвращаем конечный элемент факториала, который равен 1.

Без базового случая или с неправильным базовым случаем ваша рекурсивная функция может выполняться бесконечно, вызывая переполнение.

Рекурсивные шаги, как следует из названия, являются рекурсивной частью функции, где вся задача преобразуется в нечто меньшее. Если рекурсивный шаг не позволяет уменьшить задачу, то рекурсия опять-таки может выполняться бесконечно.

Рассмотрим повторяющуюся часть факториалов:

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Также мы знаем, что:

4 * 3 * 2 * 1 = 4!

Другими словами, 5! = 5 * 4!, 4! = 4 * 3! и так далее.

Таким образом, мы можем сказать, что n! = n * (n-1)!. Это будет рекурсивный шаг нашего факториала!

Факториальная рекурсия заканчивается, когда она достигает 1. Это будет наш базовый случай. Мы вернем 1, если n равно 1 или меньше, покрывая нулевой ввод.

Взглянем на нашу рекурсивную факторную функцию:

def get_factorial_recursively(n):
    if n <= 1:
        return 1
    else:
        return n * get_factorial_recursively(n-1)

Как вы видите, блок if воплощает наш базовый вариант, в то время как блок else охватывает рекурсивный шаг.

Протестируем функцию:

inp = input("Enter a number: ")
inp = int(inp)

print(f"The result is: {get_factorial_recursively(inp)}")

В этот раз введём 3:

Enter a number:3
The result is: 6

В итоге тот же результат. Но на этот код более сложный:

Когда мы вводим данные, функция проверит блок if, и, поскольку 3 больше 1, она перейдет к блоку else. В этом блоке мы видим строчку return n * get_factorial_recursively(n-1).

Мы знаем значение n, оно равно 3, но get_factorial_recursively(n-1) еще предстоит его вычислить.

Затем программа вызывает ту же функцию еще раз, но на этот раз наша функция принимает 2 в качестве параметра. Он проверяет блок if, переходит к блоку else и снова встречается с последней строкой. Теперь текущее значение n равно 2, но программа все равно должна вычислить get_factorial_recursively(n-1).

Поэтому он снова вызывает функцию, но на этот раз блок if, или, скорее, базовый класс, успешно возвращает 1 и выходит из рекурсии.

Следуя тому же шаблону, он возвращает каждый результат функции, умножая текущий результат на предыдущий n и возвращая его для предыдущего вызова функции. Другими словами, наша программа сначала доходит до нижней части факториала (который равен 1), затем идёт вверх, умножая на каждом шаге.

Также удаляет функцию из стека вызовов одну за другой, пока не будет возвращен конечный результат n * (n-1).

Обычно именно так работают рекурсивные функции. Некоторые более сложные задачи могут потребовать более глубоких рекурсий с более чем одним базовым случаем или более чем одним рекурсивным шагом. Но на данный момент этой простой рекурсии достаточно, чтобы решить наш факториал!

Заключение

В этой статье мы рассмотрели, как вычислять факториалы с использованием циклов for и while. Мы также узнали, что такое рекурсия и как вычислять факториал с помощью рекурсии.

Если вам понравилась рекурсия и вы хотите больше практиковаться, попробуйте вычислить последовательность Фибоначчи с помощью рекурсии! И если у вас есть какие-либо вопросы или мысли по поводу нашей статьи, не стесняйтесь делиться ими в разделе комментариев.